模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

　　模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。

　　模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。

　　一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度 (SDOF) 法n1。在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为：

　　这种单自由度的假定，只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正确的。然而实际情况通常并不是这样，所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据进行近似，同时识别这些参数的模态，就是所谓的多自由度 (MDOF) 法。

　　单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计算机内存，因此在当前小型二通道或四通道傅立叶分析仪中，都把这种方法做成内置选项。然而随着计算机的发展，内存不断扩大，计算速度越来越快，在大多数实际应用中，单自由度方法已经让位给更加复杂的多自由度方法。

　　峰值检测是一种单自由度方法，它是频域中的模态模型为根据对系统极点进行局部估计（固有频率和阻尼）。峰值检测方法基于这样的事实：在固有频率附近，频响函数通过自己的极值，此时其实部为零（同相部分最小），而虚部和幅值最大（相移达90°，幅度达峰值）图1。出现极值的那个固有频率就是阻尼固有频率ωr 的良好估计。相应的阻尼比ζr 的估计可用半功率点法得到。设ω1 和ω2 分处在阻尼固有频率的两侧 (ω1ωr ω2)，则：

　　模态检测是根据频域中的模态模型对复模态（或实模态）向量进行局部估计的一种单自由度方法。在下式中略去剩余项

　　由此式可见，频响函数在ωr 处的值乘以模态阻尼因σr ，就是留数（估计值如图1）利用这种模态检测方法之前，先要估计出ωr。

　　圆拟合是一种单自由度方法，用频域中的模态模型对系统极点和复模态（或实模态）向量进行局部估计。此方法依据事实是：单自由度系统的速度频响函数（速度对力）在奈奎斯特图（即实部对虚部）上呈现为一个圆。如果把其他模态的影响近似为一个复常数，那么在共振频率ωr 附近，频响函数的基本公式为：

　　因此，首先要选择共振频率附近的一组频率响应点，通过这些点拟合成一个圆。阻尼固有频率ωr 可以看成是复平面上数据点之间角度变化率最大（角间隔最大）的那个点的频率，也可以看成是相位角与圆心的相位角最为接近的那个数据点的频率。对于分得开的模态而言，二者的差别是很小。

　　式中，ω1、ω2分居在ωr 两侧的两个频率点：θ1、θ2，分别为频率点在ω1和ω2的半径与ωr 的半径之间的夹角。

　　粘性阻尼单自由度SDOF系统如图2的力平衡方程式，表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡。

　　为加速度、速度、位移，f为外力，t 为时间变量，把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。

　　系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统 (ζ11)、临界阻尼系统 (ζ1=1) 和欠阻尼系统 (ζ11)。过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。欠阻尼系统的响应时一种衰减振动，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。

　　实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们只研究欠阻尼的情形。

　　多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个矩阵的方程。下面是以多自由度系统为例。如图：

　　其中[M]、[C]、[K]、{f(t)}和{x(t)}分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量和响应向量。把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域（变量为p）且假定初始位移和初始速度为零，则得：

　　与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。根据特征值问题，可以求出系统特征方程的根。为了把系统方程

　　它的根就是特征方程Z(p)=0的根。同单自由度系统一样，多自由度系统的极点的实部是阻尼因子，虚部是阻尼固有频率。

　　按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼振动系统，各点除了振幅不同外，相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。

　　其中，rRkl 为留数，σr 和vr 构成的复数为系统的复特征值λr ，λr =-σr +jvr 拟合频段复模态理论中传递函数在k 点激励f 点响应的留数表达式为

　　由上式中可以看出，传递函数共振峰处复模态的相位与实模态相位的差别，在于多出的复留数相位αr，由传递函数的逆变换可以得到脉冲响应函数，由此可以得到物理坐标系中结构的自由响应表达式。

　　可以看出， 无阻尼和比例阻尼系统的初相位与初始条件有关，与物理坐标无关， 具有模态（振型）保持性；而一般粘性阻尼系统的初相位还与物理坐标 k 有关， 每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置， 不具备模态保持性， 是行波形式。但各物理坐标的相位差保持不变， 各点的振动周期、 衰减率仍保持相同。从物理坐标点的自由响应公式还可看出， 即使各测点留数为复数， 但如果留数的相位差， 即振型的幅角相同， 那么还是可以得到振动周期内形状不变且节点固定的振型。这样模态虽是复模态， 但表现出实模态的性质。因此，实模态理论的实振型与复模态理论中复模态的差别在于，各测点峰值相位差的大小。

　　复模态理论中模态参数（特征值和特征向量）均为复数， 在进行结构模型修正时，大量采用复数矩阵和复数迭代运算，计算工作量大，效率低；实模态理论中模态参数为实数，物理概念明确，后续结构模型修正计算公式简单，计算工作量小又节约空间，故实模态得到广泛的应用。

　　实际测试得到的传递函数留数一般都为复数，要由复模态经过实模态提取技术才能得到实模态。复模态提取实模态的方法主要有：根据复模态的实部、虚部或相位确定实模态的传统方法；Ibrahim的扩大模型法；Chen的传递函数提取法等，目前的模态分析软件中普遍使用的为传统方法。

　　由复模态实部或虚部获得实模态向量的方法为：直接取复留数的实部或虚部作为实模态理论中的留数，进行规格化得到实模态振型。

　　由复模态相位获得实模态向量的方法为：取复留数的幅值作为实模态理论中的留数， 根据sin(αr) 的数值接近1或-1，将留数相位归为90°或-90°，然后尽享振型规格化，得到实模态振型，此振型中各测点相位差即为0°或180°。用复模态理论获得的复模态向量，由复振型的周期变化中 t=0即振动达到最大幅度时的振幅之比表示。

　　对于实际的工程，用有限元软件分析需要的频率段，可查找振动原因，或校核。模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用。

　　首先，频率和振型是结构的固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构的功能是不同的，不同结构对应的模态分析的用途是有差别的。对建筑结构，模态分析可以知道结构的避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载的放大作用等。另。